확률 및 통계 - 한양대학교 이상화 교수님 강의 정리 - 4 [확뷸변수의 평균과 분산]
확률 및 통계 - 한양대학교 이상화 교수님 강의 링크
(http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1056974)
$$f(x)=x^4$$
123
$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
### 확률변수의 평균과 분산
* 포아송 분포
. 포아송 분포를 활용하여 단위시간당 시스템의 접속자 처리량을 계산하여 5% 정도가 사용자가 몰릴수 있다는 것에 활용할 수 있다.
. 일정한 시간동안 이벤트가 얼마나 발생하는지에 대한 모델은 포아송 분산으로 가정하고 진행한다.
* 지수함수
. life Time 에 대한 개념 모델링에 주로 사용
$$f\left( x \right) \quad =\quad \lambda { e }^{ -\lambda x }\quad ,\quad x\ge 0\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0\quad ,\quad x\quad <0$$
* Parametric probability density estimation
. 평균과 관련된 파라미터 \(\lambda \) 를 활용하여 여러가지 상황에 대해 모델링 할 수 있다. (ex : CDF , PDF , 포아송 분포 , 지수함수)
* Moments of RV
. \({ n }^{ th }\) - oder moment
$$E[{ X }^{ n }]\quad =\quad \sum _{ i }^{ }{ { x }_{ i }P({ x }_{ i })\quad -\quad dicrete } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ f }_{ x }(x){ d }_{ x } } \quad -\quad continuous$$
$$n\quad =\quad 1\quad =>\quad mean\quad =>\quad E[X]\quad =\quad \mu \quad$$
* Central Moments
. n=2 일 경우
Variance : \(E[{ (x-\mu ) }^{ 2 }]\quad =\quad { \sigma }^{ 2 }\quad \)
Variance 가 크면 예측하기가 곤란하다.
* Expectation 은 linear 하다
. 따라서 \(E[aX+b]\quad =\quad aE[x]+b\)
. 프로그래밍 할때도 이렇게 연산해도 된다.
* Variance 도 linear 하다
$${ \sigma }_{ x }^{ 2 }=E[{ x }^{ 2 }]\quad -\quad { \mu }^{ 2 }$$
* 포아송 분포에서 Variance
$${ \sigma }_{ x }^{ 2 }=E[{ x }^{ 2 }]\quad -\quad { \mu }^{ 2 }\\ \quad =\quad ({ \lambda }^{ 2 }+\lambda )-{ \lambda }^{ 2 }\\ \quad =\quad { \lambda }$$
== 추가 개념
* Taylor Series 란? (테일러 급수)
\(f\left( x \right)\) 의 멱급수 전개에 대해, \(f\left( x \right)\) 가 어떤 점 " x=a 에서 무한번 미분가능할때" , 미분을 통해서, (x-a)의 멱급수전개의 계수를 정할 수 있는 일반적인 방법이 존재하는 데, 이를 "a를 중심으로 테일러 전개"를 한다라고 한다.(발췌:http://sciphy.tistory.com/1240)
상세 개념 설명 : http://sciphy.tistory.com/1240
* 지수 함수 미분 방법?
* 적분을 할 줄 알아야 함.
* Linearity : 아래 두가지 조건을 만족해야 한다.
1) homogeniety
$$f(ax)\quad =\quad af(x)\quad $$
함수의 경우 원점을 포함해야 한다.
2) superposition
$$f({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 })\quad =\quad f({ x }_{ 1 })\quad +\quad f({ x }_{ 2 })$$
3) 두가지 다 만족하는 관계
$$f(a{ x }_{ 1 }+b{ x }_{ 2 })\quad =\quad af({ x }_{ 1 })\quad +\quad bf({ x }_{ 2 })$$
ex)
1) 원점을 지나는 직선 \(y\quad =\quad mx\)
2) operations
> 미/적분
> \(Ax\quad =\quad b\) (Eclidean 행렬 변환)
3) Expectation
(http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1056974)
$$f(x)=x^4$$
123
$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
### 확률변수의 평균과 분산
* 포아송 분포
. 포아송 분포를 활용하여 단위시간당 시스템의 접속자 처리량을 계산하여 5% 정도가 사용자가 몰릴수 있다는 것에 활용할 수 있다.
. 일정한 시간동안 이벤트가 얼마나 발생하는지에 대한 모델은 포아송 분산으로 가정하고 진행한다.
* 지수함수
. life Time 에 대한 개념 모델링에 주로 사용
$$f\left( x \right) \quad =\quad \lambda { e }^{ -\lambda x }\quad ,\quad x\ge 0\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0\quad ,\quad x\quad <0$$
* Parametric probability density estimation
. 평균과 관련된 파라미터 \(\lambda \) 를 활용하여 여러가지 상황에 대해 모델링 할 수 있다. (ex : CDF , PDF , 포아송 분포 , 지수함수)
* Moments of RV
. \({ n }^{ th }\) - oder moment
$$E[{ X }^{ n }]\quad =\quad \sum _{ i }^{ }{ { x }_{ i }P({ x }_{ i })\quad -\quad dicrete } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ f }_{ x }(x){ d }_{ x } } \quad -\quad continuous$$
$$n\quad =\quad 1\quad =>\quad mean\quad =>\quad E[X]\quad =\quad \mu \quad$$
* Central Moments
Variance : \(E[{ (x-\mu ) }^{ 2 }]\quad =\quad { \sigma }^{ 2 }\quad \)
Variance 가 크면 예측하기가 곤란하다.
* Expectation 은 linear 하다
. 따라서 \(E[aX+b]\quad =\quad aE[x]+b\)
. 프로그래밍 할때도 이렇게 연산해도 된다.
* Variance 도 linear 하다
$${ \sigma }_{ x }^{ 2 }=E[{ x }^{ 2 }]\quad -\quad { \mu }^{ 2 }$$
* 포아송 분포에서 Variance
$${ \sigma }_{ x }^{ 2 }=E[{ x }^{ 2 }]\quad -\quad { \mu }^{ 2 }\\ \quad =\quad ({ \lambda }^{ 2 }+\lambda )-{ \lambda }^{ 2 }\\ \quad =\quad { \lambda }$$
== 추가 개념
* Taylor Series 란? (테일러 급수)
\(f\left( x \right)\) 의 멱급수 전개에 대해, \(f\left( x \right)\) 가 어떤 점 " x=a 에서 무한번 미분가능할때" , 미분을 통해서, (x-a)의 멱급수전개의 계수를 정할 수 있는 일반적인 방법이 존재하는 데, 이를 "a를 중심으로 테일러 전개"를 한다라고 한다.(발췌:http://sciphy.tistory.com/1240)
상세 개념 설명 : http://sciphy.tistory.com/1240
* 지수 함수 미분 방법?
* 적분을 할 줄 알아야 함.
* Linearity : 아래 두가지 조건을 만족해야 한다.
1) homogeniety
$$f(ax)\quad =\quad af(x)\quad $$
함수의 경우 원점을 포함해야 한다.
2) superposition
$$f({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 })\quad =\quad f({ x }_{ 1 })\quad +\quad f({ x }_{ 2 })$$
3) 두가지 다 만족하는 관계
$$f(a{ x }_{ 1 }+b{ x }_{ 2 })\quad =\quad af({ x }_{ 1 })\quad +\quad bf({ x }_{ 2 })$$
ex)
1) 원점을 지나는 직선 \(y\quad =\quad mx\)
2) operations
> 미/적분
> \(Ax\quad =\quad b\) (Eclidean 행렬 변환)
3) Expectation
댓글
댓글 쓰기